在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0<a<2）（1）当C1与x轴有唯一一个交点时，求此时C1的解析式；（2）如图①，若A（1，yA），B（0，yB），C（-1，yC）三点均在C1上，连BC作AE∥BC交

Question

在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+4x+4a（0<a<2）
（1）当C₁与x轴有唯一一个交点时，求此时C₁的解析式；
（2）如图①，若A（1，y_A），B（0，y_B），C（-1，y_C）三点均在C₁上，连BC作AE∥BC交抛物线C₁于E，求点E到y轴的距离；
（3）若a=1，将抛物线C₁先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C₂，如图②，抛物线C₂与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C₂相交于P，Q（P在第四象限）且S_△FMQ=2S_△FNP，求直线l的解析式．

Answer 1

（1）根据题意得△=4²-4•a•4a=0，解得a₁=1，a₂=-1，
而0所以a=1，
所以此时C₁的解析式为y=x²+4x+4；
（2）根据题意得A（1，5a+4），B（0，4a），C（-1，5a-4），
设直线BC的解析式为y=kx+4a，
把C（-1，5a-4）代入得-k+4a=5a-4，解得k=4-a，
∴直线BC的解析式为y=（4-a）x+4a，
∵BC∥AE，
∴AE的解析式可设为y=（4-a）x+n，
把A（1，5a+4）代入得4-a+n=5a+4，解得n=6a，
∴直线AE的解析式为y=（4-a）x+6a，
方程组

y=(4-a)x+6a

y=ax2+4x+4a

消去y得x²+x-2=0，解得x₁=1，x₂=-2，
∴E点的横坐标为-2，
∴点E到y轴的距离为2；
（3）作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，
当a=1时，y=x²+4x+4=（x+2）²，抛物线C₁的顶点坐标为（-2，0），把点（-2，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，-2），
所以抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-2，即y=x²-2x-1，则抛物线的对称轴为直线x=1，所以F（1，0）
∵抛物线C₂与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），
∴FM=FN，
∵S_△FMQ=2S_△FNP，
∴QA=2PB，
∵AQ∥PB，
∴(FA)/(FB)=(QA)/(PB)=2，即FA=2BF，
设P（t，t²-2t-1），则BF=t-1，
∴AF=2（t-1），
∴OA=2（t-1）-1=2t-3，
∴Q[3-2t，（3-2t）²-2（3-2t）-1]
∴（3-2t）²-2（3-2t）-1=-2（t²-2t-1），
整理得t²-2t=0，解得t₁=0（舍去），t₂=2，
∴P（2，-1），Q（-1，2），
设直线PQ的解析式为y=px+q，
把P（2，-1），Q（-1，2）代入得

2p+q=-1

-p+q=2

，解得

p=-1

q=1

，
∴直线l的解析式为y=-x+1．