（2014•浙江）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是5252．

Question

（2014•浙江）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是

(√(5))/(2)

(√(5))/(2)

．

Answer 1

双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±(b)/(a)x，则
与直线x-3y+m=0联立，可得A（(ma)/(3b−a)，(mb)/(3b−a)），B（-(ma)/(3b+a)，(mb)/(3b+a)），
∴AB中点坐标为（(ma2)/(9b2−a2)，(3mb2)/(9b2−a2)），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，
∴((3mb2)/(9b2−a2)−0)/((ma2)/(9b2−a2)−m)=-3，
∴a=2b，
∴c＝√(a2+b2)=√(5)b，
∴e=(c)/(a)=

作业帮用户 2017-10-16

问题解析

先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（(ma2)/(9b2−a2)，(3mb2)/(9b2−a2)），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得((3mb2)/(9b2−a2)−0)/((ma2)/(9b2−a2)−m)=-3，从而可求双曲线的离心率．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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