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已知双曲线C:x^2/3-y^2=1的左,右焦点分别为F1,F2(1)求C上满足向量PF1和向量PF2的数量积等于0的点P的坐标(2)求C上满足△PF1F2为直角三角形的点P的坐标
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已知双曲线C:x^2/3-y^2=1的左,右焦点分别为F1,F2
(1)求C上满足向量PF1和向量PF2的数量积等于0的点P的坐标
(2)求C上满足△PF1F2为直角三角形的点P的坐标
(1)求C上满足向量PF1和向量PF2的数量积等于0的点P的坐标
(2)求C上满足△PF1F2为直角三角形的点P的坐标
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答案和解析
已知双曲线C:x²/3-y²=1的左,右焦点分别为F₁,F₂;(1)求C上满足向量PF₁和向量PF₂的数量积等于0的点P的坐标;(2)求C上满足△PF₁F₂为直角三角形的点P的坐标.
(1).双曲线参数:a=√3,b=1,c=2;F₁(-2,0),F₂(2,0);设双曲线上P点的坐标
为(x,y);则向量PF₁=(-2-x,-y); PF₂=(2-x,-y);
PF₁•PF₂=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=-(4-x²)+y²=-4+x²+y²=0,故x²+y²=4.(1)
P在双曲线上,故P点坐标满足双曲线方程,即有x²/3-y²=1.(2)
(1)+(2)得4x²/3=5,x²=15/4,y²=4-x²=4-15/4=1/4;故P点的坐标为P₁(√15/2,1/2);
P₂(√15/2,-1/2);P₃(-√15/2,1/2);P₄(-√15/2,-1/2).
(2).上述四个△PF₁F₂都是直角三角形;除去上面四个,还可以再作四个RT△:令x=±2,代入
双曲线方程得y²=x²/3-1=4/3-1=1/3,即得y=±√3/3;即还有四个P点满足要求:P‹5›(2,√3/3);
P‹6›(2,-√3/3);P‹7›(-2,√3/3);P‹8›(-2,-√3/3).
(1).双曲线参数:a=√3,b=1,c=2;F₁(-2,0),F₂(2,0);设双曲线上P点的坐标
为(x,y);则向量PF₁=(-2-x,-y); PF₂=(2-x,-y);
PF₁•PF₂=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=-(4-x²)+y²=-4+x²+y²=0,故x²+y²=4.(1)
P在双曲线上,故P点坐标满足双曲线方程,即有x²/3-y²=1.(2)
(1)+(2)得4x²/3=5,x²=15/4,y²=4-x²=4-15/4=1/4;故P点的坐标为P₁(√15/2,1/2);
P₂(√15/2,-1/2);P₃(-√15/2,1/2);P₄(-√15/2,-1/2).
(2).上述四个△PF₁F₂都是直角三角形;除去上面四个,还可以再作四个RT△:令x=±2,代入
双曲线方程得y²=x²/3-1=4/3-1=1/3,即得y=±√3/3;即还有四个P点满足要求:P‹5›(2,√3/3);
P‹6›(2,-√3/3);P‹7›(-2,√3/3);P‹8›(-2,-√3/3).
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