已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min（p，q）=p，p≤qq，p>q（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的

Question

已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x²-2ax+4a-2}，其中min（p，q）=

p，p≤q

q，p>q

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

Answer 1

（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，
x²-2ax+4a-2-2|x-1|=x²+2（a-1）（2-x）>0；
当x>1时，x²-2ax+4a-2-2|x-1|=x²-（2+2a）x+4a=（x-2）（x-2a），
则等式F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范围是[2，2a]；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x-1|，g（x）=x²-2ax+4a-2，
则f（x）_min=f（1）=0，g（x）_min=g（a）=-a²+4a-2．
由-a²+4a-2=0，解得a=2+√(2)（负的舍去），
由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，
即m（a）=

0，3≤a≤2+√(2)

-a2+4a-2，a>2+√(2)

；
（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；
当2<x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}
=max{2，34-8a}=max{F（2），F（6）}．
则M（a）=

34-8a，3≤a≤4

2，a>4

．