已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为．

Question

已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，若边MF₁的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ___ ．

Answer 1

设双曲线的方程为(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0），
∵线段F₁F₂为边作正三角形△MF₁F₂
∴MF₁=F₁F₂=2c，（c是双曲线的半焦距）
又∵MF₁的中点A在双曲线上，
∴Rt△AF₁F₂中，AF₁=c，AF₂=√(F1F22-AF12)=√(3)c，
根据双曲线的定义，得2a=|AF₁-AF₂|=（√(3)-1）c，
∴双曲线的离心率e=(2c)/(2a)=(2c)/((√(3-1)) c)=√(3)+1．
故答案为：√(3)+1．