双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点，已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且BF与FA反向．（1）求双曲线的离心率；（2）若

Question

双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l₁、l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁、l₂于A、B两点，已知|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差数列，且

BF

与

FA

反向．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线AB被双曲线截得的弦长为(8)/(3)，求双曲线方程．

Answer 1

（1）设实轴长为2a，虚轴长为2b，
令∠BOF=α，则tanα=(b)/(a)，
△AOB中，∠AOB=2α，∠A=90°，
∵OA，AB，OB成等差数列
∴2AB=OA+OB，
两边同除以OB：2sin2α=cos2α+1
∴tanα=(sin2α)/(cos2α+1)=(1)/(2)，∴(b)/(a)＝(1)/(2)，
∴e=(c)/(a)=√((a2+b2)/(a2))=√(1+((b)/(a))2)=√(1+(1)/(4))=(√(5))/(2)．
（2）由（1）设双曲线方程为：(x2)/(4m2)−(y2)/(m2)＝1，
∵直线AB垂直于l₁，故直线AB的方程为：y=2x-2√(5)m，
由

(x2)/(4m2)−(y2)/(m2)＝1

y＝2x−2√(5)m

，得：15x²-32√(5)mx+84m²=0，
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则x1+x2＝(32√(5)m)/(15)，x₁x₂=(84m)/(15)，
∵直线AB被双曲线截得的弦长为(8)/(3)，
∴√((1+4)[((32√(5)m)/(15))2−4×(84m)/(15)])=(8)/(3)，解得m=2，
∴双曲线方程为(x2)/(16)−(y2)/(4)＝1．