直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-34x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．（1）①填空：⊙A的半径为，b=．（不需写解答过程）②判断直

Question

直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-(3)/(4)x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）①填空：⊙A的半径为______，b=______．（不需写解答过程）
②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．
（2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求(GF)/(EG)的值．
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

（1）①连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，
则AQ=4-1=3，MQ=4，
由勾股定理得：AM=√(MQ2+AQ2)=5，
把M（4，4）代入y=-(3)/(4)x+b得：4=-(3)/(4)×4+b，
∴b=7，
故答案为：5，7．

②相切，
理由是：连接AF，
y=-(3)/(4)x+7，
当x=0时，y=7，∴C（0，7），OC=7，
当y=0时，0=-(3)/(4)x+7，
∴x=(28)/(3)，
∴B（(28)/(3)，0），OB=(28)/(3)，
∴BQ=OB-OQ=(28)/(3)-4=(16)/(3)，AQ=4-1=3，MQ=4，
∴(BQ)/(MQ)=((16)/(3))/(4)=(4)/(3)，(MQ)/(AQ)=(4)/(3)，
∴(BQ)/(MQ)=(MQ)/(AQ)，
∵∠MQA=∠MQB，
∴△AMQ∽△MBQ，
∴∠MAQ=∠BMQ，
∵∠MAQ+∠AMQ=90°，
∴∠AMQ+∠BMQ=90°，
∴AM⊥BC，
∴直线BC与⊙A的位置关系是相切．
（2）连接AC，
在△COB中，由勾股定理得：BC=√(OC2+OB2)=(35)/(3)，
同理AC=5

作业帮用户 2017-10-23

问题解析

（1）①连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，求出AQ、QM，根据勾股定理求出AM即可；把M的坐标代入解析式，求出b即可；②求出B、C的坐标，证△AQM和△BQM相似，推出∠MAQ=∠BMQ，推出∠AMB=90°即可；
（2）设EG=a，根据勾股定理求出BC、AC、CM的值，根据△BEG和△BOC相似，求出BE的值，根据△BEG和△AFG相似，求出GF的值，根据BC=BE+EM+CM，代入求出a即可；
（3）有三种情况：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，根据轴对称，得出Q与O重合，即可求出Q的坐标；②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，证△MHQ≌△MDP，推出P是圆与x正半轴交点，即可求出答案；③当∠QPM=90°时，分两种情况：第一情况：P在y的左方，设P（m，n），Q（0，b）得出方程①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）²+n²=5²，解方程组即可求出b；第二情况：P在y的右方，同理能求出b的值．

名师点评

本题考点：

直线与圆的位置关系；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；切线长定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评：

本题综合考查了勾股定理，等腰三角形性质，等腰直角三角形，切线的判定，相似三角形的性质和判定，轴对称性质，切线长定理，直线与圆的位置关系等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算能力，本题难度偏大，对学生提出了较高的要求，用力方程思想和分类讨论思想．

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