（2009•西城区一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-34x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，

Question

（2009•西城区一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-(3)/(4)x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围．

Answer 1

（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）
∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8）．
将x=0，y=6代入抛物线的解析式，
得a=(1)/(4)．（2分）
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=(1)/(4)x2-(11)/(4)x+6．（3分）

（2）可得抛物线的对称轴为直线x=(11)/(2)，顶点D的坐标为((11)/(2)，-(25)/(16))，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．
直线BC的解析式为y=-2x+6.4分）
设点P的坐标为（x，-2x+6）．
解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，
连接AP，作PM⊥x轴于点M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．
∴(PM)/(OM)=(DG)/(GA)，
即(-2x+6)/(x)=((25)/(16))/(8-(11)/(2))．
解得x=(16)/(7)．
经检验x=(16)/(7)是原方程的解．
此时点P的坐标为((16)/(7)，(10)/(7))．（5分）
但此时OM=(16)/(7)，GA=(5)/(2)，OM＜GA．
∵OP=(OM)/(cos∠POM)，AD=(GA)/(cos∠GAD)，∠POM=∠GAD，
∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）

解法二：如图，取OA的中点E，
作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由OE=(OA)/(2)=4，可得E点的坐标为（4，0）．
NE=EG=(3)/(2)，ON=OE-NE=(5)/(2)，NP=DG=(25)/(16)．
∴点P的坐标为((5)/(2)，(25)/(16))．（5分）
∵x=(5)/(2)时，-2x+6=-2×(5)/(2)+6=1≠(25)/(16)，
∴点P不在直线BC上．
∴直线BC上不存在符合条件的点P．