如图，已知圆C的圆心坐标为（1，-1），且过点M（2，-1）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点N（-1，-2）且斜率为1的直线l与圆C相交于A、B两点，求线段AB的长．

Question

如图，已知圆C的圆心坐标为（1，-1），且过点M（2，-1）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点N（-1，-2）且斜率为1的直线l与圆C相交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

（1）∵圆C的圆心坐标为（1，-1），
∴设圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=r²．
∵点M（2，-1）在圆C上，
∴（2-1）²+（-1+1）²=r²，解之得r=1（舍负）．
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=1；
（2）∵直线l过点N（-1，-2）且斜率为1，
∴直线l方程为y+2=x+1，即x-y-1=0
过C作CD⊥AB于点D，连结AC，则D为AB的中点
Rt△ACD中，AD=√(CA2−CD2)
∵CD=(|1+1−1|)/(√(2))=(√(2))/(2)
∴AB=2AD=2√(CA2−CD2)=√(2)