（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在

Question

（2013•湖南）过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k₁＞0，k₂＞0，证明：

FM

•

FN

＜2p2；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为(7√(5))/(5)，求抛物线E的方程．

Answer 1

（I） 由题意，抛物线E的焦点为F(0，(p)/(2))，直线l₁的方程为y＝k1x+(p)/(2)．
由

y＝k1x+(p)/(2)

x2＝2py

，得x2−2pk1x−p2＝0．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实数根．
从而x₁+x₂=2pk₁，y1+y2＝k1(x1+x2)+p＝2pk12+p．
所以点M的坐标为(pk1，pk12+(p)/(2))，

FM

＝(pk1，pk12)．
同理可得点N的坐标为(pk2，pk22+(p)/(2))，

FN

＝(pk2，pk22)．
于是

作业帮用户 2017-09-30

问题解析

（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量

FM

和

FN

的坐标，求出数量积后转化为关于k₁和k₂的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；
（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k₁+k₂=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于(7√(5))/(5)求出p的值，则抛物线E的方程可求．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．

考点点评：

本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．

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