如图，四边形ABCD是O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE=BC．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若∠D=90°，O的半径为5，BC：DC=1：2，求△CBE的周长．

Question

如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE=BC．

（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）若∠D=90°， O的半径为5，BC：DC=1：√(2)，求△CBE的周长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠A=∠BEC，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形；
（2）连接AC，
设BC=k，则CD=√(2)k，
∵∠D=90°，
∴∠CBE=∠D=90°，又BE=BC，
∴∠E=45°，
∴BE=BC=k，EC=√(2)k，
∴DE=2√(2)k，
由勾股定理得，AC=√(10)k，
∵ O的半径为5，
∴√(10)k=10，
解得，k=√(10)，
∴△CBE的周长为：2√(10)+2√(5)．