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(2011•武汉)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;(2)若tan∠ABE=12,求sin∠E
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(2011•武汉)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=
,求sin∠E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OA,
∵PA为⊙O的切线,
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB于C,
∴BC=CA,PB=PA,
∴△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB为⊙O的切线;
(2)连接AD,
∵BD为直径,∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°
∴AD∥OP,
∴△ADE∽△POE,
∴
=
,
由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=
,
∴
=
设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC,
得PC=2BC=4t,OP=5t,
∴
=
=
.
可设EA=2,EP=5,则PA=3,
∵PA=PB∴PB=3,
∴sin∠E=
=
.
∵PA为⊙O的切线,
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB于C,
∴BC=CA,PB=PA,
∴△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB为⊙O的切线;
(2)连接AD,
∵BD为直径,∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°
∴AD∥OP,
∴△ADE∽△POE,
∴
EA |
EP |
AD |
OP |
由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=
1 |
2 |
∴
OC |
BC |
1 |
2 |
设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC,
得PC=2BC=4t,OP=5t,
∴
EA |
EP |
AD |
OP |
2 |
5 |
可设EA=2,EP=5,则PA=3,
∵PA=PB∴PB=3,
∴sin∠E=
PB |
EP |
3 |
5 |
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