如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=43，当点P在BC上由B点运动到C点时，弦AP的中点E运动的路径长为（）A．433πB．43πC．83πD．23

Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=4√(3)，当点P在

BC

上由B点运动到C点时，弦AP的中点E运动的路径长为（　　）

A．(4√(3))/(3)π
B．(4)/(3)π
C．(8)/(3)π
D．2√(3)

Answer 1

连接BO并延长交⊙O于点Q，连接QC，如图1，

∵BQ是⊙O的直径，
∴∠BCQ=90°．
∵∠Q=∠A=60°，BC=4√(3)．
∴sinQ=(BC)/(BQ)=(4√(3))/(BQ)=(√(3))/(2)．
∴BQ=8．
连接AO，OP，OE，取OA的中点F，连接EF，FM，FN，如图2，

∵OA=OP，点E为AP的中点，
∴OE⊥AP．
∵点F为OA的中点，
∴EF=(1)/(2)OA．
∵OA=(1)/(2)×8=4，
∴EF=2．
∴点E的运动路径是以点F为圆心，2为半径的圆弧

MN

．
∵∠MFN=2∠MAN=120°（圆周角定理），
∴

MN

的长为(120π×2)/(180)=(4π)/(3)．
故选：B．