如图，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．（1）若AB=6，AC=4，AD=3，求⊙O的直径AE的长度；（2）若AB+AC=10，AD=4，求⊙O的直径AE的长的最大值，并指出此时边AB的长．

Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．

（1）若AB=6，AC=4，AD=3，求⊙O的直径AE的长度；
（2）若AB+AC=10，AD=4，求⊙O的直径AE的长的最大值，并指出此时边AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE．
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC．
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABE∽△ADC．
∴(AC)/(AE)=(AD)/(AB)，
∴AC•AB=AE•AD．
∴AE=(AC•AB)/(AD)=(6×4)/(3)=8，
（2）∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB，
∵AD=4，
由（1）中AC•AB=AE•AD，
∴AE=(AB(10−AB))/(4)=-(AB2)/(4)+(5)/(2)AB=-(1)/(4)（AB-5）²+(25)/(4)，
∴⊙O的直径AE的长的最大值为：(25)/(4)，此时边AB的长为5．