已知：正方形ABCD的边长为1，点P为对角线BD上一点，连接CP．（1）如图1，当BP=BC时，作PE⊥PC，交AB边于E，求BE的长；（2）如图2，当DP=DC时，作PE⊥PC，交BC边于E，求BE的长．

Question

已知：正方形ABCD的边长为1，点P为对角线BD上一点，连接CP．
（1）如图1，当BP=BC时，作PE⊥PC，交AB边于E，求BE的长；
（2）如图2，当DP=DC时，作PE⊥PC，交BC边于E，求BE的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠BDC=45°，∠BCP+∠DCP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠BPE+∠BPC=90°，
∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠BPE=∠DCP，
又BP=BC=DC，
∴△BPE≌△DCP，
∴BE=PD．
∵BC=CD=1，
∴BD=√(2)，
又BP=BC=1，
∴BE=PD=BD-BP=√(2)−1；

（2）∵BC=CD=DP=1，
∴BD=√(2)，PB=√(2)−1．
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠BPE+∠DPC=90°．
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
又∠BCP+∠DCP=90°，
∴∠BPE=∠BCP，
又∠PBE=∠CBP，
∴△BPE∽△BCP，
∴(BP)/(BC)＝(BE)/(BP)，
∴BE＝(BP2)/(BC)＝((√(2)−1)2)/(1)＝3−2√(2)．