用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理．

Question

用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理．

Answer 1

证明：只需证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理．
命题：若f（x）在[a，b]上连续，且f（a）f（b）<0，那么必然存在一点ξ∈（a，b），满足f（ξ）=0．
采用反正法，
若对于任意点x∈（a，b），有f（x）≠0，那么显然对于任意x∈[a，b]，仍然有f（x）≠0．
由于f的连续性，我们对于任意一点x∈[a，b]，可以找到一个邻域Oδx(x)，使得f（x）在Oδx(x)∩[a，b]中保号，
那么[a，b]区间被以上形式的Oδx(x)，x∈[a，b]开区间族所覆盖，
由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间Oδx_(x1)，Oδx_(x2)，…，Oδx_(xn)就能覆盖闭区间[a，b]，
再由覆盖定理的加强形式可得，存在ε>0，满足当y₁，y₂∈[a，b]，|y₁-y₂|存在Oδx_(x1)，Oδx_(x2)，…，Oδx_(xn)中的某个开集同时覆盖y₁，y₂．
那么我们就证明了当|y₁-y₂|1），f（y₂）同号；
现取正整数m，满足(b-a)/(m)，令zi=a+((b-a)i)/(m)，i=0，1，…，m，那么
我们有|z_i+1-z_i|i）与f（z_i+1）同号，
从而证明了f（z₀）与f（z_m）同号，
即f（a）与f（b）同号，
这与题目中的f（a）f（b）<0矛盾
证明完毕．

作业帮用户 2017-01-17