将圆分成n个扇形,用r种不同颜色染色,并且相邻的扇形不同色,问有多少种分法.

Question

将圆分成n个扇形,用r种不同颜色染色,并且相邻的扇形不同色,问有多少种分法.

Answer 1

设有n个扇形染色An种
首先是第一块用r种 第二块r-1第三块r-1.第n块r-1种 一共r(r-1)^n-1种
但其中有很多不符条件的情况,其表现为第n块与第一块同色,
若同色则把第一块和第n块看成一块.
这样就符合条件但总数变成n-1块且排列数为A(n-1)
所以在r(r-1)^n-1中应减去An-1才是An
综上可得式子
An=r(r-1)^n-1 -An-1
化简得
An-(r-1)^n=-(An-1-(r-1)^n-1)
即An-(r-1)^n成公比为-1等比
An=(-1)^(n-1)(A2-(r-1)2)+(r-1)^n
因为n=1所以代A2
自己画个图A2一共r(r-1)种
代入得
An=(-1)^(n-1)*(r-1) +(r-1)^n
n=1 An=r
不懂可以加飞信~720509249
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