概率问题-收集一套邮票的数学期望问题一套邮票有N种,假设每收集一张邮票得到的种类是随机的,而且获得每种邮票的概率是相等的,那么能够得到完整一套邮票的收集次数的数学期望是多少?

Question

概率问题-收集一套邮票的数学期望问题
一套邮票有N种,假设每收集一张邮票得到的种类是随机的,而且获得每种邮票的概率是相等的,那么能够得到完整一套邮票的收集次数的数学期望是多少?

Answer 1

我们把以前没出现过的邮票定义为为新邮票
第一张肯定为新邮票
第二张为新邮票的概率为(N-1)/N,在已有1种邮票的情况,要得到第二种新邮票平均还要收集N/(N-1)次
以此类推,在已有2种邮票的情况下,要得到第3种新邮票平均还要要收集N/(N-2)次
……
直到收集到只差剩下一种邮票,容易知,收集最后一种邮票平均要N次才能收集到
于是总次数为
S=N/N+N/(N-1)+N/(N-2)+……+N/2+N
=N[1/N+1/(N-1)+1/(N-2)+……+1/2+1]
当N足够大的时候,调和级数 1/N+1/(N-1)+1/(N-2)+……+1/2+1≈0.58+lnN
于是S约等于0.58N+NlnN