将坐标的曲线积分∫Pdx+Qdy换弧长积分,L是y=x^2+2点A(0,2)到B(1,3)

Question

将坐标的曲线积分∫Pdx+Qdy换弧长积分,L是y=x^2+2 点A(0,2)到B(1,3)

Answer 1

两类曲线积分之间的关系是：∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds
L的参数方程为：x=t,y=t²+2,则切向量为(1,2t),即(1,2x),由于第一个分量为正,因此向量(1,2x)的方向与曲线方向一致.
将向量单位化得：( 1/√(1+4x²),2x/√(1+4x²) ),即：cosα=1/√(1+4x²),cosβ=2x/√(1+4x²)
因此： ∫Pdx+Qdy=∫ (P+2xQ)/√(1+4x²) ds