设α∈（0，π2），β∈（π2，π），若1−cosαsinα=1+cosβsinβ，则下列结论一定正确的是（）A．sinα=sinβB．sinα=-cosβC．sinα=cosβD．sin2α=sin2β

Question

设α∈（0，(π)/(2)），β∈（(π)/(2)，π），若(1−cosα)/(sinα)=(1+cosβ)/(sinβ)，则下列结论一定正确的是（　　）

A．sinα=sinβ
B．sinα=-cosβ
C．sinα=cosβ
D．sin²α=sin²β

Answer 1

由已知可得：(1−cosα)/(sinα)=(1−(1−tan2(α)/(2))/(1+tan2(α)/(2)))/((2tan(α)/(2))/(1+tan2(α)/(2)))=(1+(1−tan2(β)/(2))/(1+tan2(β)/(2)))/((2tan(β)/(2))/(1+tan2(β)/(2)))=(1+cosβ)/(sinβ)，
从而有：tan(α)/(2)tan(β)/(2)=1，得sin(α)/(2)sin(β)/(2)=cos(α)/(2)cos(β)/(2)
故有：cos（(α+β)/(2)）=0
∵α∈（0，(π)/(2)），β∈（(π)/(2)，π），
∴(π)/(4)＜(α+β)/(2)＜(3π)/(4)
∴α+β=π
∴sinα=sin（π-β）=sinβ
故选：A．