设α1，α2，α3，β均是三维向量，则下列命题中正确的是（）①若β不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3必定线性相关；②若β不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3必定线性

Question

设α₁，α₂，α₃，β均是三维向量，则下列命题中正确的是（　　）
①若β不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则α₁，α₂，α₃必定线性相关；
②若β不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则α₁，α₂，α₃必定线性无关；
③若α₁，α₂，α₃线性相关，则β必可由α₁，α₂，α₃线性表示；
④若α₁，α₂，α₃线性无关，则β必可由α₁，α₂，α₃线性表示．

A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

Answer 1

由于α₁，α₂，α₃，β均是三维向量，因此α₁，α₂，α₃，β必定线性相关
∴设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+kβ=0，…①
则必有k₁、k₂、k₃、k不全为零
∴若β不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则①式中的k必为0
∴k₁、k₂、k₃不全为零
即α₁，α₂，α₃必定线性相关
故①正确，②错误；
同时，若α₁，α₂，α₃线性无关，由①式知，k必不为0，否则α₁，α₂，α₃线性相关
∴β必可由α₁，α₂，α₃线性表示
故④正确
对于③，如α1＝

1

0

0

，α2＝

0

1

0

，α3＝

1

1

0

，β＝

0

0

1

，显然α₁，α₂，α₃线性相关，但是β不能由α₁，α₂，α₃线性表示
故③错误．
故正确的只有①和④
故选：C