一道高等代数题目,已知三维空间V中的一组基ε1ε2ε3的度量矩阵为.,求内积.已知三维空间V中的一组基ε1ε2ε3的度量矩阵为1-10120003向量α=ε1-ε2,β=ε1+ε2+ε3,则内积（α,β）等于多少?（α和β

Question

一道高等代数题目,已知三维空间V中的一组基ε1ε2ε3的度量矩阵为.,求内积.
已知三维空间V中的一组基ε1ε2ε3的度量矩阵为
1 -1 0
1 2 0
0 0 3
向量α=ε1-ε2,β=ε1+ε2+ε3,则内积（α,β）等于多少?（α和β上有箭头→）

Answer 1

设度量矩阵第i行第j列元素为aij,则aij=（εi,εj）
由双线性函数的＂双线性性＂（即对任意的a1,a1,b1,b2属于V,k1,k2属于F（设V是域F上的线性空间）,有（k1a1+k2a2,b1）=k1（a1,b1）+k2（a2,b1）、（a1,k1b1+k2b2）=k1（a1,b1）+k2（a1,b2））
知：（α,β）=（ε1-ε2,ε1+ε2+ε3）=（ε1,ε1）+（ε1,ε2）+（ε1,ε3）-（ε2,ε1）-（ε2,ε2）-（ε2,ε3）=1-1+0-1-2-0=-3