若α∈[0，π]，β∈[-π4，π4]，λ∈R，且（α-π2）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（α2+β）的值为（）A.0B.12C.32D.22

Question

若α∈[0，π]，β∈[-(π)/(4)，(π)/(4)]，λ∈R，且（α-(π)/(2)）³-cosα-2λ=0，4β³+sinβcosβ+λ=0，则cos（(α)/(2)+β）的值为（　　）
A. 0
B. (1)/(2)
C. (√(3))/(2)
D. (√(2))/(2)

Answer 1

∵4β³+sinβcosβ+λ=0，∴（-2β）³-2sinβcosβ-2λ=0，即  （-2β）³+sin（-2β ）-2λ=0．
再由（α-(π)/(2)）³-cosα-2λ=0，可得（α-(π)/(2)）³ +sin（α-(π)/(2)）-2λ=0．
故-2β和α-(π)/(2)是方程 x³+sinx-2λ=0 的两个实数解．
再由α∈[0，π]，β∈[-(π)/(4)，(π)/(4)]，所以(π)/(2)-α 和2β的范围都是[-(π)/(2)，(π)/(2)]，
由于函数 x³+sinx 在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上单调递增，故方程 x³+sinx-2λ=0在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上只有一个解，
所以，(π)/(2)-α=2β，所以(α)/(2)+β=(π)/(4)，所以cos（(α)/(2)+β）=(√(2))/(2)．
故选：D．