如图所示，边长为a的等边△ABC的中心是G，直线MN经过G点与AB、AC分别交于M、N点，已知∠MGA=α（π3≤α≤2π3）．（1）设S1、S2分别是△AGM、△AGN的面积，试用α表示S1、S2；（2）当线段MN绕G点

Question

如图所示，边长为a的等边△ABC的中心是G，直线MN经过G点与AB、AC分别交于M、N点，已知∠MGA=α（(π)/(3)≤α≤(2π)/(3)）．
（1）设S₁、S₂分别是△AGM、△AGN的面积，试用α表示S₁、S₂；
（2）当线段MN绕G点旋转时，求y=(1)/(S12)+(1)/(S22)的最大值和最小值．

Answer 1

（1）因为G是边长为a的正三角形ABC的中心，
所以AG=(√(3))/(3)a，∠MAG=(π)/(6)，
由正弦定理得GM=(√(3)a)/(6sin(α+(π)/(6)))
则S₁=(1)/(2)GM•GA•sinα=(asinα)/(12sin(α+(π)/(6)))
同理可求得S₂=(asinα)/(12sin(α−(π)/(6)))
（2）y=(1)/(S12)+(1)/(S22)=(144)/(a2sin2α)[sin2(α+(π)/(6))+sin2(α−(π)/(6))]
=(72)/(a2)（3+cot²α）
因为(π)/(3)≤α≤(2π)/(3)，
所以当a=(π)/(3)或a=(2π)/(3)时，y取得最大值y_max=(240)/(a2)
当a=(π)/(2)时，y取得最小值y_min=(216)/(a2)．