设向量组α1，α2，…，αr线性无关，而α1，α2，…，αr，β，γ线性相关．证明：要么β与γ中至少有一个可被α1，α2，…，αr线性表示，要么α1，α2，…，αr，β与α1，α2，…，αr，γ等价．

Question

设向量组α₁，α₂，…，α_r线性无关，而α₁，α₂，…，α_r，β，γ线性相关．证明：要么β与γ中至少有一个可被α₁，α₂，…，α_r线性表示，要么α₁，α₂，…，α_r，β与α₁，α₂，…，α_r，γ等价．

Answer 1

证明：由α₁，α₂，…，α_r，β，γ线性相关，知
存在一组非零实数k₁，k₂，…，k_r，s，t，使得
k₁α₁+k₂α₂+…k_rα_r+sβ+tγ=0
而向量组α₁，α₂，…，α_r线性无关，因此
s和t不能全为零
①当s≠0，t=0时，则有β=-(1)/(s)(k1α1+k2α2+…krαr)，即β可由α₁，α₂，…，α_r线性表示；
②当s=0，t≠0时，则有γ=-(1)/(t)(k1α1+k2α2+…krαr)，即γ可由α₁，α₂，…，α_r线性表示
③当s≠0，t≠0时，则有
β=-(1)/(s)(k1α1+k2α2+…krαr+tγ)，即β可由α₁，α₂，…，α_r，γ线性表示；
γ=-(1)/(t)(k1α1+k2α2+…krαr+sβ)，即γ可由α₁，α₂，…，α_r，β线性表示．
而α₁，α₂，…，α_r，是可以由α₁，α₂，…，α_r，γ和α₁，α₂，…，α_r，β线性表示的
因此，α₁，α₂，…，α_r，β与α₁，α₂，…，α_r，γ等价
故要么β与γ中至少有一个可被α₁，α₂，…，α_r线性表示，要么α₁，α₂，…，α_r，β与α₁，α₂，…，α_r，γ等价．