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设向量组α1,α2,…,αr线性无关,而α1,α2,…,αr,β,γ线性相关.证明:要么β与γ中至少有一个可被α1,α2,…,αr线性表示,要么α1,α2,…,αr,β与α1,α2,…,αr,γ等价.
题目详情
设向量组α1,α2,…,αr线性无关,而α1,α2,…,αr,β,γ线性相关.证明:要么β与γ中至少有一个可被α1,α2,…,αr线性表示,要么α1,α2,…,αr,β与α1,α2,…,αr,γ等价.
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答案和解析
证明:由α1,α2,…,αr,β,γ线性相关,知
存在一组非零实数k1,k2,…,kr,s,t,使得
k1α1+k2α2+…krαr+sβ+tγ=0
而向量组α1,α2,…,αr线性无关,因此
s和t不能全为零
①当s≠0,t=0时,则有β=-
(k1α1+k2α2+…krαr),即β可由α1,α2,…,αr线性表示;
②当s=0,t≠0时,则有γ=-
(k1α1+k2α2+…krαr),即γ可由α1,α2,…,αr线性表示
③当s≠0,t≠0时,则有
β=-
(k1α1+k2α2+…krαr+tγ),即β可由α1,α2,…,αr,γ线性表示;
γ=-
(k1α1+k2α2+…krαr+sβ),即γ可由α1,α2,…,αr,β线性表示.
而α1,α2,…,αr,是可以由α1,α2,…,αr,γ和α1,α2,…,αr,β线性表示的
因此,α1,α2,…,αr,β与α1,α2,…,αr,γ等价
故要么β与γ中至少有一个可被α1,α2,…,αr线性表示,要么α1,α2,…,αr,β与α1,α2,…,αr,γ等价.
存在一组非零实数k1,k2,…,kr,s,t,使得
k1α1+k2α2+…krαr+sβ+tγ=0
而向量组α1,α2,…,αr线性无关,因此
s和t不能全为零
①当s≠0,t=0时,则有β=-
| 1 |
| s |
②当s=0,t≠0时,则有γ=-
| 1 |
| t |
③当s≠0,t≠0时,则有
β=-
| 1 |
| s |
γ=-
| 1 |
| t |
而α1,α2,…,αr,是可以由α1,α2,…,αr,γ和α1,α2,…,αr,β线性表示的
因此,α1,α2,…,αr,β与α1,α2,…,αr,γ等价
故要么β与γ中至少有一个可被α1,α2,…,αr线性表示,要么α1,α2,…,αr,β与α1,α2,…,αr,γ等价.
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