下列不是向量组α1，α2，…，αs线性无关的必要条件的是（）A．α1，α2，…，αs都不是零向量B．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可由其余向量线性表示C．α1，α2，…，αs中任意两个

Question

下列不是向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关的必要条件的是（　　）

A．α₁，α₂，…，α_s都不是零向量
B．α₁，α₂，…，α_s中至少有一个向量可由其余向量线性表示
C．α₁，α₂，…，α_s中任意两个向量都不成比例
D．α₁，α₂，…，α_s中任一部分组线性无关

Answer 1

由向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关，知
①选项A．向量组α₁，α₂，…，α_s不含零向量，否则，设α₁=0，则
存在一组非零实数：k₁=1，k₂=0，k₃=0，…，k_s=0，使得
1•α₁+0•α₂+…+0•α_s=0
即向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关，矛盾
从而向量组α₁，α₂，…，α_s不含零向量
故A是向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关的必要条件
故A错误；
②选项B．若α₁，α₂，…，α_s中至少有一个向量可由其余向量线性表示，不妨设
α₁=k₂α₂+…+k_sα_s，则
α₁-k₂α₂-…-k_sα_s=0
从而向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关
故“α₁，α₂，…，α_s中至少有一个向量可由其余向量线性表示”不是向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关的必要条件
故B正确；
③选项C．若α₁，α₂，…，α_s中有两个向量成比例，不妨设(α1)/(α2)＝k，则
α₁-kα₂=0（k≠0）
即α₁、α₂线性相关
从而α₁，α₂，…，α_s线性相关
故C正确；
④选项D．若α₁，α₂，…，α_s中有一部分组线性相关，则α₁，α₂，…，α_s线性相关
故D正确；
故选：B．