设n阶非零矩阵A是幂零矩阵（即存在正整数m，使Am=O），证明：存在正整数k及n维非零列向量α，使得α，Aα，A2α，…，Ak-1α是线性无关的，而α，Aα，A2α，…，Ak-1α，Akα是线性相关的．

Question

设n阶非零矩阵A是幂零矩阵（即存在正整数m，使A^m=O），证明：存在正整数k及n维非零列向量α，使得α，Aα，A²α，…，A^k-1α是线性无关的，而α，Aα，A²α，…，A^k-1α，A^kα是线性相关的．

Answer 1

证：依题意设正整数k是使A^k=O的最小正整数（k≥2），
即A^k-1≠O，而A^k=O，则必有n维非零列向量α，使
A^k-1α≠0（否则的话，可由A^k-1e_j=0，j=1，2，…，n，即A^k-1（e₁，e₂，…，e_n）=O导致A^k-1=O，矛盾），
下面证明α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性无关，
设有数l₁，l₂，…，l_k，使l1α+l2Aα+…+lkAk−1α＝0
以A^k-1左乘上式两端，
并注意到A^t=O（当t≥k时），
得l1Ak−1α＝0，而A^k-1α≠0，
则l₁=0类似可得l₂=0，…，l_k=0，
故α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性无关；
又A^kα=0，
故α，Aα，A²α，…，A^k-1α，A^kα线性相关．