已知α1=（1,2,1,0）,α2=（-1,1,1,1）,β1=（2,-1,0,1）,β2=（1,-1,3,7）,W1=L(α1,α2),W2=L(β1,β2),求W1∩W2和W1+W2的基和维数

Question

已知α1=（1,2,1,0）,α2=（-1,1,1,1）,β1=（2,-1,0,1）,β2=（1,-1,3,7）,W1=L(α1,α2),W2=L(β1,β2),求W1∩W2和W1+W2的基和维数

Answer 1

设α属于W1∩W2,那么α=aα1+bα2=（a-b,2a+b,a+b,b),α=cβ1+dβ2=(2c+d,-c-d,3d,c+7d)
四个方程联立得a=-d,b=4d,c=-3d,所以α=（-5d,2d,3d,4d),所以W1∩W2是一维的,基随便比如（-5,2,3,4)
而W1和W2都是二维的,所以由维数公式dimW1+dimW2=dim（W1∩W2）+dim（W1+W2）,所以W1+W2是三维的
要找W1+W2的基可以先取W1的两个基（不要求正交基的话直接α1、α2,而β1与这两个线性无关,可以是第三个基）
如果要求正交,那么做个施密特正交化就行了