设A是数域P上的n阶方阵,令W1={X∈P^n|(A-E)X=0},W2={X∈P^n|(A+E)X=0}.证明：P^n=W1＋W2的直和的充要条件是A^2=E

Question

设A是数域P上的n阶方阵,令W1={X∈P^n|(A-E)X=0},W2={X∈P^n|(A+E)X=0}.证明：P^n=W1＋W2的直和的充要条件是A^2=E

Answer 1

充分性：
（1）先证明P^n=W1+W2：
对于任意的a属于P^n,令a1=1/2（E+A）a,a2=1/2（E-A）a,则（A-E）a1=1/2（A^2-E）a=0,（A+E）a2=1/2（E-A^2）a=0
从而a1属于W1,a2属于W2
而a1+a2=a
由a的任意性可知：P^n=W1+W2
（2）再证明W1+W2是直和：
设b属于W1交W2,则（E-A）b=0,（E+A）b=0,两式相加,为2b=0,b=0,即W1交W2=0,从而W1+W2是直和
综上,有P^n是W1与W2的直和
必要性：
因为P^n是W1与W2的直和,所以对于任意a属于P^n,存在a1属于W1、a2属于W2,使得a=a1+a2,从而（A-E）（A+E）a=（A^2-E）（a1+a2）=（A+E）（（A-E）a1）+（A-E）（（A+E）a2）=0
所以（A+E）（A-E）=0,即A^2=E