一.设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,补充令β=α1+α2+α3（1）证明β,Aβ,A^2β线性无关（2）若A^3β=3Aβ-2A^2β,求A的特征值,并计算行列式∣A+E∣二.设z=f(u),

Question

一.设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,
补充令β =α1+α2+α3
（1）证明β,Aβ,A^2β线性无关
（2）若A^3β=3Aβ-2A^2β,求A的特征值,并计算行列式∣A+E∣
二.设z=f(u),方程u=g(u)+∫ (上限x.下限y)p(t)dt确定u是x,y的函数,其中f(u),g(u)可微,p(t),g'(u)连续,
补充：且g'(u)≠1,求p(y)δz/δx+p(x)δz/δy

Answer 1

第一题
（1）假设xβ+yAβ+zA^2β=0
即x（α1+α2+α3）+y（λ1α1+λ2α2+λ3α3）+z（λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）=0
(x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0
因为α1,α2,α3分属不同特征值,所以线性无关,所以
x+λ1y+λ1^2z=0
x+λ2y+λ2^2z=0
x+λ3y+λ3^2z=0
此齐次方程组系数行列式为范德蒙行列式,且λ1, λ2, λ3互不相同,因而不为0,从而方程组只有零解,即有x=y=z=0
故β,Aβ,A^2β线性无关.
（2）将Aβ=λ1α1+λ2α2+λ3α3,A^2β=λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3,A^3β=λ1^3α1+λ2^3α2+λ3^3α3代入等式,并结合α1,α2,α3线性无关可得：λi^3+2λi^2-3λi=0
解得λi=0或1或-3,此即为A的特征值
因为A一定相似于对角阵C,对角元素分别为0,1,-3,所以可设A=P^(-1)CP,
∣A+E∣=∣P^(-1)CP+P^(-1)EP∣=∣P^(-1)(C+E)P∣=∣C+E∣= 1*2*（-2）= -4
第二题
u=g(u)+∫ (上限x.下限y)p(t)dt
两边对x求偏导,δu/δx=g'(u)δu/δx+p(x),于是δu/δx=p(x)/[1-g'(u)]
两边对y求偏导,δu/δy=g'(u)δu/δy-p(y),于是δu/δy=-p(y)/[1-g'(u)]
代入可得,p(y)δz/δx+p(x)δz/δy=p(y)f'(u)δu/δx+p(x)f'(u)δu/δy=0
其中用到变上限（下限）定积分函数的求导问题结论,若有不懂欢迎继续追问