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一道数分题设f∈C（R),且对任一开区间I,f（I）为开区间.证明：f为单调函数.
题目详情
一道数分题
设f∈C（R),且对任一开区间I,f（I）为开区间.证明：f为单调函数.
设f∈C（R),且对任一开区间I,f（I）为开区间.证明：f为单调函数.
▼优质解答
答案和解析
用反证法可以证明：
假设f不是单调函数,那么必然存在某个区间M,在M中,函数f有极值A,因此可以得到一个开区间N,使得f（N）存在一个极值A.那么区间f（N）就不可能是开区间.与已知条件“对任一开区间I,f（I）为开区间”矛盾.
因此假设不成立.
所以,f是单调函数.
假设f不是单调函数,那么必然存在某个区间M,在M中,函数f有极值A,因此可以得到一个开区间N,使得f（N）存在一个极值A.那么区间f（N）就不可能是开区间.与已知条件“对任一开区间I,f（I）为开区间”矛盾.
因此假设不成立.
所以,f是单调函数.
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