在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=5π12处取得最大值．（1）当x∈(0，π2)时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=13314，求△ABC的面积

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=(5π)/(12)处取得最大值．
（1）当x∈(0，(π)/(2))时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=(13√(3))/(14)，求△ABC的面积．

Answer 1

∵函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2cosxsinxcosA-2cosxcosxsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A）
又∵函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x＝(5π)/(12)处取得最大值．
∴2×(5π)/(12)−A＝2kπ+(π)/(2)，其中k∈z，
即A＝(π)/(3)−2kπ，其中k∈z，
（1）∵A∈（0，π），∴A=(π)/(3)
∵x∈(0，(π)/(2))，∴2x-A∈(−(π)/(3)，(2π)/(3))
∴−(√(3))/(2)＜sin(2x−A)≤1，即函数f（x）的值域为：(−(√(3))/(2)，1]
（2）由正弦定理得到(a)/(sinA)＝(b+c)/(sinB+sinC)，则sinB+sinC=(b+c)/(a)sinA，
即(13√(3))/(14)＝(b+c)/(7)×(√(3))/(2)，∴b+c=13
由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA
即49=169-3bc，∴bc=40
故△ABC的面积为：S=(1)/(2)bcsinA＝(1)/(2)×40×(√(3))/(2)＝10√(3)．