若a,b,c为△ABC的三边,且(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)为一完全平方式则△ABC是什么三角形?A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形要详细解答的,谢谢!

Question

若a,b,c为△ABC的三边,且(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)为一完全平方式则△ABC是什么三角形?
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D. 等腰直角三角形
要详细解答的,谢谢!

Answer 1

(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)
=3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)
=3[x^2+2(a+b+c)x/3+(ab+bc+ca)/3]
为一完全平方式,则
(ab+bc+ca)/3=[(a+b+c)/3]^2
3(ab+bc+ca)=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)=0
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a-b=0 a=b
b-c=0 b=c
c-a=0 c=a
a=b=c,三角形为等边三角形,选B.