已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x-n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求m2+n24的最小值．

Question

已知m，n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，求m2+(n2)/(4)的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=

-3x-m+n，x≤-m

-x+m+n，-m<x<(n)/(2)

3x+m-n，x≥(n)/(2)

，
∴f（x）在(-∞，(n)/(2))是减函数，在((n)/(2)，+∞)是增函数；
∴当x=(n)/(2)时，f（x）取最小值f((n)/(2))=m+(n)/(2)．
（2）由（1）知，f（x）的最小值为m+(n)/(2)，
∴m+(n)/(2)=2，∵m，n∈R⁺，
(m2+(n2)/(4))=(1)/(2).2(m2+(n2)/(4))≥(1)/(2)(m+(n)/(4))2=2，
（当且仅当m=(n)/(2)，即m=1，n=2时，取等号），
∴m2+(n2)/(4)的最小值为2．