已知方程（x^2-2x+m)*(x^2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1的等差数列,则m+n=x^2-2x+m=0或x^2-2x+n=0而得不出两者都等于0吧?如果只是其中一项等于0的话,怎么把这四个根的和都用韦达定理算出来呢?

Question

已知方程（x^2-2x+m)*(x^2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1的等差数列,则m+n=
x^2-2x+m =0 或x^2-2x+n=0 而得不出两者都等于0吧?如果只是其中一项等于0的话 ,怎么把这四个根的和都用韦达定理算出来呢?只能算两个根的和了

Answer 1

x^2-2x+m =0 或x^2-2x+n=0 而得不出两者都等于0吧?
x^2-2x+m =0 或x^2-2x+n=0.若同时=0,则m=n.
此时（x^2-2x+m)*(x^2-2x+n)=0.则4个根中有相等的根.又是等差数列,则4个根只能都相等.
此时.都为1,则m=n=1.所以m+n=2
此方法可看做特例法
一般解法如下
x^2-2x+m =0 或x^2-2x+n=0
设a,b是x^2-2x+m =0的2个根,则a+b=2,ab=m
设c,d是x^2-2x+n =0的2个根,则c+d=2,cd=n
a,b,c,d 4个是组成等差数列.所以只能ab放中间.或者cd在中间,其实这两种情况都是一样.
不妨加上这个条件,a≤b,c≤d,a≤c
则等差数列排列如下a,c,d,b或者b,d,c,a,这里也只要考虑一种情况即可
a,c,d,b
a=1,c=1+x,d=1+2x,b=1+3x
所以a+b=2,x=0.此时a=b=c=d=1.
同理b,d,c,a,也有a=b=c=d=1
所以m+n=2