已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，Sn=（-1）nan+12n+n-3且（an+1-p）（an-p）<0恒成立，则实数p的取值范围是．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，S_n=（-1）ⁿa_n+ (1)/(2n)+n-3且（a_n+1-p）（a_n-p）<0恒成立，则实数p的取值范围是___．

Answer 1

由Sn=(-1)nan+(1)/(2n)+n-3，得a1=-(3)/(4)；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(-1)nan+(1)/(2n)+n-3-(-1)n-1an-1-(1)/(2n-1)-(n-1)+3
=(-1)nan+(-1)nan-1-(1)/(2n)+1．
若n为偶数，则an-1=(1)/(2n)-1，∴an=(1)/(2n+1)-1（n为正奇数）；
若n为奇数，则an-1=-2an-(1)/(2n)+1=-2((1)/(2n+1)-1)-(1)/(2n)+1=3-(1)/(2n-1)，
∴an=3-(1)/(2n)（n为正偶数）．
函数an=(1)/(2n+1)-1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=-(3)/(4)，
函数an=3-(1)/(2n)（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=(11)/(4)．
若（a_n+1-p）（a_n-p）<0恒成立，
则a₁<p<a₂，即-(3)/(4)<p<(11)/(4)．
故答案为：(-(3)/(4)，(11)/(4))．