设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？

Question

设函数f（x）=x-(1)/(x)-alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个极值点x₁和x₂，记过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）证明：

n

k−2

ln(k−1)/(k+1)＞(2−n−n2)/(√(2n(n+1)))（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

（1）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=(x2−2x+1)/(x2)≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）由f（x）有两个极值点x₁和x₂，知，a＞2．
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+(x1−x2)/(x1x2)-a（lnx₁-lnx₂），
∴k=(f(x1)−f(x2))/(x1−x2)=1+(1)/(x1x2)-a•(lnx1−lnx2)/(x1−x2)，
又x₁x₂=1．于是k=2-a•(lnx1−lnx2)/(x1−x2)，
若存在a，使得k=2-a，则(lnx1−lnx2)/(x1−x2)=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即x2−(1)/(x2)−2lnx2=0（*）
再由（1）知，函数h（t）=t-(1)/(t)-2lnt在（0，+∞）上单调递增，
而x₂＞1，
∴x2−(1)/(x2)−2lnx2＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．
（3）∵

n

k−2

ln(k−1)/(k+1)=ln(2)/(n(n+1))，
∴

n

k−2

ln(k−1)/(k+作业帮用户2017-09-28问题解析（1）求导，令f′（x）=(x2−2x+1)/(x2)≥0，即可求f（x）的单调区间；（2）假设存在a，使得k=2-a，根据（1）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（1）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题；（3）证明nk−2ln(k−1)/(k+1)=ln(2)/(n(n+1))，利用分析法，即可证明结论．名师点评本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．考点点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)