对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y=x

Question

对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
（1）求函数y=x ² 的所有“保值”区间；
（2）函数y=x ² +m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为函数y=x ² 的值域是[0，+∞），且y=x ² 在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]⊆[0，+∞），所以a≥0，从而函数y=x ² 在区间[a，b]上单调递增，
故有

a 2 =a

b 2 =b.

解得

a=0，或 a=1

b=0，或 b=1.

又a＜b，所以

a=0

b=1.

所以函数y=x ² 的“保值”区间为[0，1]．…（3分）
（2）若函数y=x ² +m（m≠0）存在“保值”区间，则有：
①若a＜b≤0，此时函数y=x ² +m在区间[a，b]上单调递减，
所以 

a 2 +m=b

b 2 +m=a.

消去m得a ² -b ² =b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因为a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又

b≤0

-b-1＜b

所以  -(1)/(2) ＜b≤0 ．
因为  m=- b 2 +a=- b 2 -b-1=-(b+(1)/(2) ) 2 -(3)/(4) (-(1)/(2) ＜b≤0) ，所以  -1≤m＜-(3)/(4) ．…（6分）
②若b＞a≥0，此时函数y=x ² +m在区间[a，b]上单调递增，
所以 

a 2 +m=a

b 2 +m=b.

消去m得a ² -b ² =a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因为a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又

a≥0

a＜1-a

所以  0≤a＜(1)/(2) ．
因为  m=- a 2 +a=-(a-(1)/(2) ) 2 +(1)/(4) (0≤a＜(1)/(2) ) ，所以  0≤m＜(1)/(4) ．
因为 m≠0，所以  0＜m＜(1)/(4) ．…（9分）
综合 ①、②得，函数y=x ² +m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是 [-1， -(3)/(4) )∪(0， (1)/(4) ) ．…（10分）