已知f（x）=1+lnxx-1，g（x）=kx（k∈N*），对任意的c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为．

Question

已知f（x）= (1+lnx)/(x-1)，g（x）= (k)/(x)（k∈N^*），对任意的c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为___．

Answer 1

当k=1时，作函数f（x）=(1+lnx)/(x-1)，与g（x）=(k)/(x)（k∈N⁺）的图象如下，

k=1，对∀c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
当k=2时，作函数f（x）=(1+lnx)/(x-1)，与g（x）=(k)/(x)（k∈N⁺）的图象如下，

k=2，对∀c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
当k=3时，作函数f（x）=(1+lnx)/(x-1)，与g（x）=(k)/(x)（k∈N⁺）的图象如下，

k=3时，对∀c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确，
k=4时，作函数f（x）=(1+lnx)/(x-1)，与g（x）=(k)/(x)（k∈N⁺）的图象如下，

k=4，不正确，
故答案为：3．