当x∈（0，+∞）时，不等式c2x2-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是．

Question

当x∈（0，+∞）时，不等式c²x²-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是___．

Answer 1

当x∈（0，+∞）时，不等式c²x²-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）时，（xc-lnx）（xc+1）≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）时，

c≥(lnx)/(x)

c≥-(1)/(x)

或

c≤(lnx)/(x)

c≤-(1)/(x)

，
令f（x）=(lnx)/(x)，f′（x）=(1-lnx)/(x2)，
令f′（x）>0，解得：0<x<e，
令f′（x）<0，解得：x>e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴f（x）_max=f（e）=(1)/(e)，而y=-(1)/(x)<0，
故c≥(1)/(e)，
故答案为：[(1)/(e)，+∞）．