设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x=c时，y=0；当0＜x＜c时，y＞0．（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；（2）当x＞0时，求证：ax+2+bx+1+cx＞0．

Question

设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，c＞1），当x=c时，y=0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：(a)/(x+2)+(b)/(x+1)+(c)/(x)＞0．

Answer 1

（1）当x=c时，y=0，即ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
又c＞1，所以ac+b+1=0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x=c时，y=0，
于是二次函数y=ax²+bx+c的对称轴：x＝−(b)/(2a)≥c即b≤-2ac
所以b=-ac-1≤-2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x=1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为(a)/(x+2)+(b)/(x+1)+(c)/(x)＝((a+b+c)x2+(a+2b+3c)x+2c)/(x(x+1)(x+2))＝((a+b+c)x2+(a−2ac−2+3c)x+2c)/(x(x+1)(x+2))
而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a-2ac-2+3c=（1-a）（2c-1）+（c-1）＞0
所以当x＞0时，((a+b+c)x2+(a−2ac+3c−2)x+2c)/(x(x+1)(x+2))＞0，
即(a)/(x+2)+(b)/(x+1)+(c)/(x)＞0．