设函数f（x）=lnx-x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1<x-1lnx<x；（3）设c>1，证明当x∈（0，1）时，1+（c-1）x>cx．

Question

设函数f（x）=lnx-x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1<(x-1)/(lnx)<x；
（3）设c>1，证明当x∈（0，1）时，1+（c-1）x>c^x．

Answer 1

（1）函数f（x）=lnx-x+1的导数为f′（x）=(1)/(x)-1，
由f′（x）>0，可得0<x<1；由f′（x）<0，可得x>1．
即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1<(x-1)/(lnx)<x，即为lnx<x-1<xlnx．
由（1）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）递减，
可得f（x）<f（1）=0，即有lnx<x-1；
设F（x）=xlnx-x+1，x>1，F′（x）=1+lnx-1=lnx，
当x>1时，F′（x）>0，可得F（x）递增，即有F（x）>F（1）=0，
即有xlnx>x-1，则原不等式成立；
（3）证明：设G（x）=1+（c-1）x-c^x，G′（x）=c-1-c^xlnc，
可令G′（x）=0，可得c^x=(c-1)/(lnc)，
由c>1，x∈（0，1），可得1<c^x<c，即1<(c-1)/(lnc)<c，
由（1）可得c^x=(c-1)/(lnc)恰有一解，设为x=x₀是G（x）的最大值点，且0<x₀<1，
由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x₀）递增，在（x₀，1）递减，
可得G（x₀）=1+（c-1）x₀-c^x₀>0成立，
则c>1，当x∈（0，1）时，1+（c-1）x>c^x．