将函数f（x）=π-X（0≤x≤π）展开为以2π为周期的余弦级数

Question

将函数f（x）=π -X （0≤x≤π）展开为以2π 为周期的余弦级数

Answer 1

傅立叶级数的公式可以参见任何一本微积分/高等数学/数学分析 方面的教科书,网上也可查到,如

徐小湛的博客 用Maple求函数的傅里叶级数 （网易博客）

（下图即出自该博客）

首先,应将
f(x) = π - x  （0≤x≤π）延拓为偶函数,
即 0≤x≤π时,f(x) = π - x；
-π≤x<0时,f(x) = π + x；

再将f(x) 延拓为以2π为周期的偶函数

即 2kπ≤x≤(2k+1)π时,f(x) = π - x；
(2k-1)π<x<2kπ时,f(x) = π + x；

函数大致图像为：

再由傅立叶级数的系数公式,计算a_n, b_n.
因为f(x)延拓为偶函数,sin(nx)为奇函数,故进行傅立叶级数展开后,sin(nx)的系数必定为0.

由前面系数公式算出a_0 = π,
a_n = -(2*(cos(π*n)-1))/(π*n^2)；
n=2k时(k∈Z), cos(π*n)=1,
n=2k-1时(k∈Z), cos(π*n)=-1,
即 cos(π*n) =(-1)^n；
所以：
n=2k时(k∈Z),a_n = 0；
n=2k-1时(k∈Z),a_n = 4/[(2k-1)^2*π]；

所以,f(x) = π + 4cos((2k-1)*x)/[(2k-1)^2*π].