求定积分∫x|sinx|dx=?积分上限是nπ,下限是0.另外类似于这种题目,积分上下限里边含n的,如何能将n提出

Question

求定积分∫x|sinx|dx=?积分上限是nπ,下限是0.另外类似于这种题目,积分上下限里边含n的,如何能将n提出

Answer 1

∫(0,nπ)x|sinx|dx
=∫(0,π)xsinxdx-∫(π,2π)xsinxdx+.+(-1)^(n-1)∫(nπ-π,nπ)xsinxdx
∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx+sinx+C
(-1)^(n-1)∫(nπ-π,nπ)xsinxdx=(-1)^(n-1)(-nπcosnπ+(nπ-π)cos(nπ-π))
=(-1)^(n-1)(-nπ(-1)^n+(nπ-π)(-1)^(n-1))
=(2n-1)π
于是：
∫(0,nπ)x|sinx|dx
=∫(0,π)xsinxdx-∫(π,2π)xsinxdx+.+(-1)^(n-1)∫(nπ-π,nπ)xsinxdx
=π+3π+...+(2n-1)π
=n²π