已知sin（3π-a）=根号2cos（2/3π+b），根号3cos（-a）=-根号2cos（π+b），且0＜a＜π，0＜b＜π，求a与b

Question

已知sin（3π-a）=根号2cos（2/3π+b），根号3cos（-a）=-根号2cos（π+b），且 0＜a＜π，0＜b＜π，求a与b

Answer 1

化简 sin（3π-a）=√2cos（2/3π+b）
sin（2π+π-a）=√2cos（2π+b-π/2）
sin（π-a）=√2cos（b-π/2）
sina=√2cos（π/2-b）=√2sinb，
化简 √3cos（-a）=-√2cos（π+b）
√3cosa=√2cosb，即cosa=(√6/3)cosb
∵ sin²a+cos²a=1
∴(√2sinb)²+[(√6/3)cosb]=1
即2sin²b+2cos²b/3=1
6sin²b+2cos²b=3
4sin²b+2（sin²b+cos²b）=3
∴4sin²b=3-2 sin²b=1/4 sinb=正负1/2，又因为0＜b＜π，所以sinb=1/2，即b=30°
同理又∵sin²b+cos²b=1
∴(√2sina/2)²+(√6cosa/2)²=1
即sin²a/2+3cos²a/2=1
sin²a+3cos²a=2
sin²a+cos²a+2cos²a=2
2cos²a=2-1
cos²a=1/2 cosa=正负√2/2，0＜a＜π，所以a=45°或135°
综上所述a=45°或135°，b=30°