y^1/x=x^1/y 或者说是 x√y=y√x (x>0,y>0),确定函数y=f(x),求d^2y/dy^2二阶导数

Question

y^1/x=x^1/y 或者说是 x√y=y√x (x>0,y>0),确定函数y=f(x),求d^2y/dy^2二阶导数

Answer 1

y^1/x=x^1/y
1/xlny=1/ylnx
ylny=xlnx
两边对x求导:
[y]'lny+y[lny]'=x*1/x+lnx
y'lny+y*1/y*y'=1+lnx
y'lny+y'=1+lnx.1
再对x求导:
y''lny+1/y*(y')^2+y''=1/x
y''=[1/x-(y')^2/y]/(1+lny),2
由1式得:y'=(1+lnx)/(1+lny),代入2式得:
y''={1/x-[(1+lnx)/(1+lny)]^2/y}/(1+lny)