一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4-x万元，且每万件国家给予

Question

一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4-x万元，且每万件国家给予补助2e-(2elnx)/(x)-(1)/(x)万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）
（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式
（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）

Answer 1

（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得

f(x)＝x(4−x+2e−(2elnx)/(x)−(1)/(x)−2)−1

＝−x2+2(e+1)x−2elnx−2(x＞0)

（Ⅱ）f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2的定义域为[1，2e]，
且f′(x)＝−2x+2(e+1)−(2e)/(x)＝−(2(x−1)(x−e))/(x)(x＞0)
列表如下：

x	（1，e）	e	（e，2e]
f'（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值f（e）	减

由上表得：f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．
且f（e）=e²-2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e²-2，此时的月生产量值为e（万件）．