设d是曲线y=3√x，直线x=a及x轴所转成的平面图形，若10vx=vy，求a的值

Question

设d是曲线y=3√x，直线x=a及x轴所转成的平面图形，若10vx=vy，求a的值

Answer 1

由题干可知，本题积分范围对x为[0，a]，对y为[0，
3 a
]．
由旋转体的体积公式可知
Vx＝π
∫
a
0
y2dx＝π
∫
a
0
x
2
3
dx=π[
3
5
x
5
3
]
a
0
=
3
5
πa
5
3
；
Vy＝π
∫
3 a
0
(a2−x2)dy=π
∫
3 a
0
(a2−y6)dy=π[a2•
3 a
−
1
7
(
3 a
)7]=
6
7
πa
7
3
；
由条件10Vx=Vy，即10×
3
5
πa
5
3
＝
6
7
πa
7
3
a
2
3
＝7