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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆方程;(2)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,P为l上异于T的任一点,直线PA1、PA2

题目详情
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(1)求椭圆方程;
(2)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,P为l上异于T的任一点,直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知椭圆C的离心率e=
c
a
3
2
,a=2,可得 c=
3
,b=1,
∴椭圆的方程为
x2
4
+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线A1M斜率为k1,则直线A1M的方程为y=k1(x+2),
y=k1(x+2)
x2
4
+y2=1
,解得x1=
−8
k21
+2
4
k21
+1
,y1=
4k1
4
k21
+1
,∴M点坐标为(
−8
k21
+2
4
k21
+1
4k1
4
k21
+1
).
同理,设直线A2N的斜率为k2则N点坐标为(
8
k22
−2
4
k22
+1
−4k2
4
k22
+1
).
由直线A1M与直线A2N的交点P(t,yp)在直线l上,
又yp=k1(t+2),yp=k2(t-2),∴k1(t+2)=k2(t-2),∴
k1−k2
k1+k2
=−
2
t

又MN的方程为
y−y1
x−x1
y2−y1
x2−x1
,令y=0,得  x=
x2y1−x1y2
y1−y2
4
t

即直线MN与x轴交点为(
4
t
,0),又t>2,∴0<
4
t
<2.
又椭圆右焦点为(
3
,0),故当 t=
4
3
3
时,MN过椭圆的焦点.