已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA1、PA2

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(3)/(2)，且在x轴上的顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA₁、PA₂分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

Answer 1

（1）由已知椭圆C的离心率e＝(c)/(a)＝(3)/(2)，a＝2，可得 c＝

3

，b＝1，
∴椭圆的方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线A₁M斜率为k₁，则直线A₁M的方程为y=k₁（x+2），
由

y＝k1(x+2)

(x2)/(4)+y2＝1

，解得x1＝(−8k21+2)/(4k21+1)，y1＝(4k1)/(4k21+1)，∴M点坐标为（(−8k21+2)/(4k21+1)，(4k1)/(4k21+1)）．
同理，设直线A₂N的斜率为k₂则N点坐标为（(8k22−2)/(4k22+1)，(−4k2)/(4k22+1)）．
由直线A₁M与直线A₂N的交点P（t，y_p）在直线l上，
又y_p=k₁（t+2），y_p=k₂（t-2），∴k₁（t+2）=k₂（t-2），∴(k1−k2)/(k1+k2)＝−(2)/(t)．
又MN的方程为(y−y1)/(x−x1)＝(y2−y1)/(x2−x1)，令y=0，得  x＝(x2y1−x1y2)/(y1−y2)＝(4)/(t)．
即直线MN与x轴交点为((4)/(t)，0)，又t＞2，∴0＜(4)/(t)＜2．
又椭圆右焦点为(

3

，0)，故当 t＝(43)/(3)时，MN过椭圆的焦点．