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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆方程;(2)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,P为l上异于T的任一点,直线PA1、PA2
题目详情
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(1)求椭圆方程;
(2)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,P为l上异于T的任一点,直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆方程;
(2)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,P为l上异于T的任一点,直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知椭圆C的离心率e=
=
,a=2,可得 c=
,b=1,
∴椭圆的方程为
+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线A1M斜率为k1,则直线A1M的方程为y=k1(x+2),
由
,解得x1=
,y1=
,∴M点坐标为(
,
).
同理,设直线A2N的斜率为k2则N点坐标为(
,
).
由直线A1M与直线A2N的交点P(t,yp)在直线l上,
又yp=k1(t+2),yp=k2(t-2),∴k1(t+2)=k2(t-2),∴
=−
.
又MN的方程为
=
,令y=0,得 x=
=
.
即直线MN与x轴交点为(
,0),又t>2,∴0<
<2.
又椭圆右焦点为(
,0),故当 t=
时,MN过椭圆的焦点.
c |
a |
| ||
2 |
3 |
∴椭圆的方程为
x2 |
4 |
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线A1M斜率为k1,则直线A1M的方程为y=k1(x+2),
由
|
−8
| ||
4
|
4k1 | ||
4
|
−8
| ||
4
|
4k1 | ||
4
|
同理,设直线A2N的斜率为k2则N点坐标为(
8
| ||
4
|
−4k2 | ||
4
|
由直线A1M与直线A2N的交点P(t,yp)在直线l上,
又yp=k1(t+2),yp=k2(t-2),∴k1(t+2)=k2(t-2),∴
k1−k2 |
k1+k2 |
2 |
t |
又MN的方程为
y−y1 |
x−x1 |
y2−y1 |
x2−x1 |
x2y1−x1y2 |
y1−y2 |
4 |
t |
即直线MN与x轴交点为(
4 |
t |
4 |
t |
又椭圆右焦点为(
3 |
4
| ||
3 |
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