已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为455，且圆心M在直线l的下方．（1）求圆M的方程；（2）设A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圆M的切线，求△AB

Question

已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为(4√(5))/(5)，且圆心M在直线l的下方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

（1）设M（0，b）由题设知，M到直线l的距离是√(1−((2√(5))/(5))2)=(√(5))/(5)…（2分）
所以(|−b+2|)/(√(5))=(√(5))/(5)，解得b=1或b=3…（4分）
因为圆心M在直线l的下方，所以b=1，
即所求圆M的方程为x²+（y-1）²=1…（6分）
（2）当直线AC，BC的斜率都存在，即-4＜t＜-1时
直线AC的斜率k_AC=tan2∠MAO=(−(2)/(t))/(1−(1)/(t2))=(−2t)/(t2−1)，
同理直线BC的斜率k_BC=(−2(t+5))/((t+5)2−1)…（8分）
所以直线AC的方程为y=(−2t)/(t2−1)（x-t），
直线BC的方程为y=

作业帮用户 2017-09-24

问题解析

（1）设圆心M（0，b），利用M到l：y=2x+2的距离，结合直线l被圆M所截得的弦长为(4√(5))/(5)，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（2）当直线AC，BC的斜率都存在时，求出设AC斜率，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，从而求出面积的最小值，再考虑斜率不存在时的情形，从而得解．

名师点评

本题考点：

直线和圆的方程的应用．

考点点评：

本题以圆的弦长为载体，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．

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